VC Dimension的定义
我们知道dichotomies数量的上限是成长函数，成长函数的上限是边界函数：
边界函数的上限就是N^(k-1)了：
于是我们得到了上限（成长函数）的上限（边界函数）的上限。。。
所以VC Bound可以改写成：
复习结束，下面我们定义VC Dimension：
用中文讲，对于某个备选函数集H，VC Dimension就是它所能shatter的最大数据个数N。
VC Dimension = minimum break point - 1。
所以在VC Bound中，(2N)^(k-1)可以替换为(2N)^(VC Dimension)。
VC Dimension与学习算法A，输入分布P，目标函数f均无关。
PLA的VC Dimension
1D的PLA最多shatter2个点，所以VC Dimension = 2；
2D的PLA最多shatter3个点，所以VC Dimension = 3；
所以dD的PLA，VC Dimension会不会等于d+1？
要证明这一点，只需证明：
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(1) 证明VC Dimension≥d+1，只需证明H可以shatter某些d+1个输入。
我们刻意构造一组d+1个输入：
第一列灰色的1是对每个输入提高1维的操作，这个是一个d+1维的方阵，对角线全部是1，所以该矩阵可逆。
对于任意一种输出，我们总能找到一个备选函数使得：
即这一组输入的所有dichotomies都被穷尽了，所以VC Dimension≥d+1得证。
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(2) 证明VC Dimension≤d+1，只需证明H不能shatter任何d+2个输入。
在2D情形下构造一组4个输入：
所以 x4 = x3 + x2 - x1。
如果前3个输出是：
那么第4个输出是多少？
由于：
所以：
------<1>如果有一个备选函数W，使得其在x1,x2,x3上的输出的符号与方程<1>中的符号相同：
那么一定有：
所以H不能shatter 2+2=4个输入。
推广到d维：
任何d+2个数据作为输入，即使升了一维之后，输入矩阵的行数（d+2）依然大于列数（d+1），所以矩阵各行是线性相关的，即x(d+2)能用x(d+1),......,x2,x1的线性组合来表示。
我们假设H可以shatter d+2个输入，那么我们一定能找到一个W，使得x(d+1),......,x2,x1对应的输出的符号与他们在线性表达式中的系数符号相同：
所以：
之前的假设是错的，H不能shatter d+2个输入。
所以VC Dimension≤d+1得证。
综合(1)(2)，对于d-D PLA，其VC Dimension=d+1。
VC Dimension的物理意义
在教程中这么说：
即VC Dimension是备选函数集H的“能力”。“能力”越大，H对数据的划分就越细致。
例如，从Positive Ray到Positive Interval，自由变量从1个变成了2个，VC Dimension从1变成了2，H变得更强大。
在VC Dimension与备选函数集大小M基本正相关：
深入理解VC Dimension
VC Bound:
所以GOOD事件：| E-in(h) - E-out(h) ≤ ε |可以改写成：
即：
我们最终希望E-out越小越好，所以上面的不等式中可以只关心上界。
我们把根号项看做一种惩罚，它拉大了E-in与E-out之间的距离，这个惩罚与“模型复杂度”有关，模型越复杂，惩罚越大：
一图胜千言，可以看出随着模型复杂度的增加，E-in与E-out两条曲线渐行渐远。
如果VC Dimension太大，模型复杂度增加，E-in与E-out偏离；
如果VC Dimension太小，虽然E-in≈E-out，但H不够给力，很难找到不犯错（或很少犯错）的h。
基本上，天下没有免费的面包！
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VC Bound提高了数据复杂度。
用一个简单的数学题就能说明：
你帮老板分析股票数据，老板说E-in与E-out差距最大为ε=0.1；置信度为90%，即δ=0.1；所用模型的VC Dimension = 3。你用程序算了一番，发现：
于是你向老板汇报，请给我29300条数据作为训练集、29300条作为测试集，我就能达到你的要求，如果想万无一失，200000条数据是起码的。本来被老板逼死的节奏，现在要把老板逼死了，哪来这么多数据？
本题中：
need N ≈ 10000 * VC Dimension
而实际应用中，需要的数据量在10倍VC Dimension左右。
为什么VC Bound会这么宽松，以至于过多估算数据量？
因为VC Bound对数据分布、目标函数、备选函数集、学习算法都没有要求，它牺牲了部分精确性，换来了无所不包的一般性。这使得VC Bound具有哲学意义上的指导性。